Un billón de triángulos
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http://aimath.org/news/congruentnumbers/es.html

22 de Setiembre, 2009 -- Matemáticos de Norteamérica, Europa,
Australia, y Sudamérica resolvieron el primer _billón_ de casos de un
antiguo problema de matemática. El avance fue posible mediante una técnica
ingeniosa para multiplicar números grandes. Los números involucrados
son tan enormes que si sus dígitos fueran escritos a mano llegarían
hasta la luna y volverían. El mayor desafío fue que esos números ni
siquiera podían entrar en la memoria principal de las computadoras
disponibles, por lo que los investigadores tuvieron que hacer un uso extenso de
los discos duros de las computadoras.

Según Brian Conrey, Director del Instituto Americano de Matemática,
"Problemas viejos como éste pueden parecer oscuros, pero generan un
montón de investigación útil e interesante a medida que se desarrollan
nuevas formas de atacarlos."

El problema, que fue planteado por primera vez hace más de mil años,
tiene que ver con el área de los triángulos rectángulos. El problema,
sorprendentemente difícil, consiste en determinar qué números enteros
pueden ser el área de un triángulo rectángulo cuyos lados son números
enteros o fracciones. El área de un triángulo así se llama un "número
congruente." Por ejemplo, el triángulo de lados 3-4-5 que los estudiantes
aprenden en geometría tiene área 1/2 x 3 x 4 = 6; por lo tanto 6 es un
número congruente. El número congruente más pequeño es el 5, que es el
área de un triángulo rectángulo con lados 3/2, 20/3, y 41/6.

Los primeros números congruentes son 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, y 21.
Muchos números congruentes eran conocidos previamente a los nuevos
cálculos. Por ejemplo, cualquier número en la sucesión 5, 13, 21, 29,
37, ..., es un número congruente. Sin embargo otras sucesiones
parecidas, como 3, 11, 19, 27, 35, ..., son más misteriosas y cada
número tiene que ser verificado individualmente.

El cálculo encontró 3,148,379,694 de estos números congruentes más
misteriosos menores que un billón.


Consecuencias, y planes futuros
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Uno de los miembros del equipo, Bill Hart, hizo notar que "la parte
difícil fue desarrollar una biblioteca general rápida de código de
computadora para hacer este tipo de cálculos. habiendo logrado eso, no
tomó mucho tiempo escribir el programa especializado que se precisó
para este cálculo." El software utilizado para este cálculo está
disponible libremente, y cualquiera con una computadora grande puede
usarlo para romper el récord o hacer otros cálculos similares.

Además de los avances prácticos requeridos para este resultado, la
respuesta también tiene consecuencias teóricas. Según el matemático
Michael Rubinstein de la Universidad de Waterloo, "algunos años atrás
combinamos ideas de teoría de números y de física para predecir
el comportamiento estadístico de los números congruentes. Estoy muy
complacido de ver que nuestra predicción es bastante precisa." Fue
Rubinstein quien desafió al equipo a intentar este cálculo. El método
de Rubinstein predice alrededor de 800 mil millones más de números
congruentes hasta un cuadrillón, una predicción que podría ser
verificada si se contara con computadoras con un disco duro
suficientemente grande.


Historia del problema
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El problema de los números congruentes fue enunciado por primera vez
por el matemático persa al-Karaji (953--1029). Su versión no
involucraba triángulos, sino que estaba expresada en términos de los
_números cuadrados_, los números que son cuadrados de enteros 1, 4, 9,
16, 25, 36, 49, ..., o cuadrados de números racionales: 25/9, 49/100,
144/25, etc. Él preguntaba: ¿para qué números enteros _n_ existe un
cuadrado _a²_ tal que _a²-n_ y _a²+n_ también son cuadrados? Cuando
esto sucede, _n_ es llamado un número congruente. El nombre se da pues
existen tres cuadrados que son congruentes módulo _n_. Una influencia
importante en al-Karaji eran las traducciónes árabes de los trabajos
del matemático griego Diofanto (210--290) quien planteó problemas
similares.

Poco progreso fue hecho en los siguientes mil años. En 1225, Fibonacci
(quien es conocido por los "números de Fibonacci") mostró que 5 y 7 eran
números congruentes, y dijo, sin demostrar, que 1 no es un número
congruente. Ésto fue demostrado por Fermat (quien es conocido por el
"Último Teorema de Fermat") en 1659. Para 1915 los números congruentes
menores que 100 habían sido determinados y en 1952 Kurt Heegner
introdujo técnicas matemáticas profundas en la materia y demostró que
todos los números en la sucesión 5, 13, 21, 29, ... son congruentes.
Pero en 1980 todavía había casos menores que 1000 que no habían sido
resueltos.

Resultados modernos
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En 1982 Jerrold Tunnell de la Universidad de Rutgers logró un progreso
significativo usando la conexión (usada primero por Heegner)
entre los números congruentes y las curvas elípticas, objetos
matemáticso para los que hay una teoría bien establecida. Tunnel
encontró una fórmula simple para determinar si un número es congruente
o no. Esto permitió que los primeros miles de casos fueran resueltos
muy rápidamente. Un problema es que la validez de su fórmula (y en
consecuencia también la del nuevo resultado computacional) depende
de la verdad de un caso particular de uno de los grandes problemas
abiertos en matemática conocidos como la Conjetura de Birch y
Swinnerton-Dyer. Esta conjetura es uno de los siete problemas del
milenio propuestos por el Instituto de Matemática Clay con un premio
de un millón de dólares.

Los cálculos
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Frecuentemente los resultados como este son vistos con escepticismo
debido a la complejidad de llevar a cabo un cálculo tan grande y el
potencial para errores en la computadora o la programación. Los
investigadores tuvieron especial cuidado en verificar sus resultados,
haciendo el ćalculo dos veces, en computadoras diferentes, usando
algoritmos diferentes, escritos por dos grupos independientes. El
equipo de Bill Hart (Universidad de Warwick, en Inglaterra) y Gonzalo
Tornaría (Universidad de la República, en Uruguay) usó la computadora
_Selmer_ en la Universidad de Warwick. La compra de _Selmer_ fue
financiada por el Consejo de Investigación en Ingeniería y Ciencias
Físicas (EPSRC) del Reino Unido. La mayoría de su código fue escrito
durante un workshop en la Universidad de Washington en junio de 2008.

El equipo de Mark Watkins (Universidad de Sydney, en Australia), David
Harvey (Instituto Courant, NYU, en Nueva York) y Robert Bradshaw
(Universidad de Washington, en Seattle) usó la computadora _Sage_
en la Universidad de Washington. La compra de _Sage_ fue financiada
por la Fundación Nacional de Ciencia (NSF) de los Estados Unidos. El
código de este equipo fue desarrollado durante un workshop en el
Centro de Ciencias de Benasque Pedro Pascual en Benasque, España, en
julio de 2009. Ambos workshops fueron patrocinados por el Instituto
Americano de Matemática con financiación de la NSF.