Graph catalog: Spectra of small graphs
Version: April 11, 2007
order 3 graphs
order 4 graphs
order 5 graphs
order 6 graphs
Petersen graph
4antiprism
BarioliFallat counterexample to IEPG
pentasun
Main Index
Index of graphs
Description of graph entries
Graph operations
Parameter relationships
References
The catalog
This catalog provides information about the minimum rank and other graph parameters for specific small connected graphs.
For families, please see the
families catalog.
For general background on the minimum
rank problem, please see [FH]. Proofs of
the results in the catalog can be found in the references
cited in the catalog.
This catalog was developed through the American Institute of Mathematics
workshop, "Spectra of Families of Matrices described by Graphs, Digraphs,
and Sign Patterns," and is hosted by AIM. It is edited by
Jason Grout, Leslie Hogben, Hein van der Holst and Amy Wangsness.
The webpage was designed by David Farmer.
Please refer any questions or comments about the content of the catalog,
including corrections or suggestions for additional information, to
Leslie Hogben (lhogben(())iastate.edu) or one of the editors.
Please refer any questions or comments about the operation of this website
to David Farmer (farmer(())aimath.org).
The new information in this catalog is based on research done
by the following people at the AIM workshop:
Francesco Barioli, Wayne Barrett, Avi Berman,
Richard Brualdi, Steven Butler,
Sebastian Cioaba, Dragos Cvetkovic, Jane Day,
Louis Deaett, Luz DeAlba, Shaun Fallat, Shmuel Friedland,
Chris Godsil, Jason Grout, Willem Haemers, Leslie Hogben,
InJae Kim, Steve Kirkland, Raphael Loewy, Judith McDonald,
Rana Mikkelson,
Sivaram Narayan, Olga Pryporova, Uri Rothblum, Irene Sciriha,
Bryan Shader, Wasin So, Dragan Stevanovic, Pauline van den Driessche,
Hein van der Holst, Kevin Vander Meulen, Amy Wangsness, Amy Yielding
and on the work of Kaela Rasmussen.
Entries in the catalog
A typical entry in this catalog includes the following information
for the graph or family of graphs.
Symbol name 
Common names/symbols are used to describe a graph G in the family.
Sometimes a graph operation is used.

picture 
A picture of the graph, or a representative example from the family.

graph6  Code describing the adjacency matrix.

order  The number of vertices in the graph

mr 
For a real symmetric matrix A, the graph of A,
denoted G(A), is the graph with vertices
{1,...,n } and edges { {i,j }  a_{ij} ≠ 0 and i
≠ j }
(note that the diagonal of A is ignored in determining G(A)).
The minimum rank of G is
mr(G)=min{rank(A) : A ∈ R^{n×n}, A^{T}=A, and G(A)=G}.

M 
The maximum nullity (= maximum multiplicity of an eigenvalue) of a real symmetric matrix A such that G(A)=G

field independent 
Minimum rank can be defined for symmetric matrices over any field. ``Yes" means the minimum rank of G is the same for all fields.

ξ 
A real symmetric matrix M satisfies the Strong Arnold
Hypothesis provided there does not exist a nonzero symmetric matrix
X satisfying:
 MX = 0,
 M ° X = 0,
 I ° X=0,
where ° denotes the Hadamard (entrywise) product and I is the identity matrix.
The Colin de Verieretype parameter ξ(G) is the maximum multiplicity of 0 as an eigenvalue
among symmetric real matrices that satisfy
 G(A )=G and
 A satisfies the Strong Arnold Hypothesis.

ω 
The largest value of m for which G has a clique of order m (subgraph isomorphic to K_{m}) is called the clique number of G
and denoted by ω(G).

δ 
The minimum degree of a vertex of G is denoted by δ(G).

tw 
A treedecomposition of a graph G=(V,E) is a pair
(T,W), where T is a tree and W={W_{t} : t∈ V(T)} is a family of subsets of V
with the properties:
 ∪ {W_{t} : t∈ V(T)}=V,
 for every edge e∈ E, there is a t∈V(T) such that has both ends of e are in W_{t}, and
 if t_{1},t_{2},t_{3}∈ V(T)
and t_{2} lies on the path from t_{1} to t_{3} in T, then
W_{t1}∩W_{t3}⊆W_{t2}.
The width of a treedecomposition is
max{W_{t}  1 : t∈ V(T)}. The treewidth of G, denoted by tw(G), is the minimum possible width of a treedecomposition of G.

cc 
Clique covering number, or Cliquecover.
A set of subgraphs of G, each of which is a clique and such that every edge of G is
contained in at least one of these cliques, is called a clique covering of G.
The clique covering number of G, denoted by cc(G), is the smallest number of
cliques in a clique covering of G.

diam 
The distance between two vertices in a graph G is the
number of edges in a shortest path between them.
The diameter of G, diam(G), is the maximum distance between any two vertices
of G.

maxinducedpath 
The maximum number of edges in a path that is an induced subgraph of G.

Z 
Colorchange rule:
If G is a graph with each vertex colored either white or black, u is a black vertex of G, and exactly one neighbor v of u is white, then change the color of v to black.
Given a coloring of G, the derived coloring is the result of applying the colorchange rule until no more changes result.
A zero forcing set for a graph G is a subset of vertices Z such that if initially the vertices in Z are colored black and the remaining vertices are colored white, the derived coloring of G is all black.
Z(G) is the minimum of Z over all zero forcing sets Z⊆ V(G).

α 
An induced subgraph H of a graph G
is a coclique or independent set of vertices
if H has no edges.
The largest value of m for which a coclique with m
vertices exists is called the vertex independence number
of G and denoted by α(G).


Notes: 
Any other comments.

Graph operations
The following graph operations are used to construct families:
 The complement of a graph G=(V,E) is the
graph G
= (V,E),
where E
consists of all two element sets from V that are not in E.
 The line graph of a graph G=(V,E),
denoted L(G), is the graph having vertex set E,
with two vertices in L(G) adjacent if and only if the
corresponding edges are adjacent in G.
 The Cartesian product of two graphs G and H,
denoted G ☐ H,
is the graph with vertex set V(G) × V(H) such that
(u,v) is adjacent to (u',v') if and only if
(1) u=u' and vv' ∈ E(H),
or
(2) v=v' and uu' ∈ E(G).
 The strong product of two graphs G and H, denoted
G ⊠ H, is the graph with vertex set V(G) × V(H) such
that (u,v) is adjacent to (u',v') if and only if
(1) uu' ∈ E(G)
and vv' ∈ E(H),
or
(2) u=u' and vv' ∈ E(H),
or
(3) v=v'
and uu' ∈ E(G).
 The corona of G with H, denoted
G ° H, is the graph of order GH + G
obtained by taking one copy of G and G copies
of H, and joining all the vertices in the ith
copy of H to the ith vertex of G.
Parameter Relationships
The following relationships between the parameters are known:
 mr(G) + M(G) = G (where G denotes the order of G)
 M(G) ≤ Z(G) [AIM]
 ξ(G) ≤ M(G) [BFH3]
 ω(G) 1 ≤ ξ(G) [BFH3]
 δ(G) ≤ tw(G)
 mr(G) ≤ cc(G)
 diam(G) ≤ maxinducedpath(G) ≤ mr(G)
 ξ(G) ≤ G  α(G) + 1 [BFH3]
References
[AIM] AIM Minimum rank  special graphs work group. Zero forcing sets and the minimum rank of graphs. Preprint.
[BFH] F. Barioli, S. Fallat, and L. Hogben.
Computation of minimal rank and path cover number for graphs.
Linear Algebra and Its Applications,
392: 289303, 2004.
[BFH2] F. Barioli, S. Fallat, and L. Hogben.
On the difference between the maximum multiplicity and path cover number for
treelike graphs.
Linear Algebra and Its Applications 409: 1331, 2005.
[BFH3] F. Barioli, S. Fallat, and L. Hogben.
A variant on the graph parameters of Colin de Verdi`ere:
Implications to the minimum rank of graphs.
Electronic Journal of Linear Algebra,
13: 387404, 2005.
[BHL2] W. Barrett, H. van der Holst and R. Loewy.
Graphs whose minimal rank is two: The finite fields case.
Electronic Journal of Linear Algebra, 14: 3242, 2005.
[BvdHL] W. Barrett, H. van der Holst and R. Loewy.
Graphs whose minimal rank is two.
Electronic Journal of Linear Algebra,
11: 258280, 2004.
[FH] S. Fallat and L. Hogben.
The Minimum Rank of Symmetric Matrices Described by a Graph: A Survey. Preprint.
[H] L. Hogben.
Spectral graph theory and the inverse eigenvalue problem of a
graph.
Electronic Journal of Linear Algebra, 14:1231, 2005.
[H2] L. Hogben.
Orthogonal representations, minimum rank, and graph complements.
Preprint.
Available at
http://orion.math.iastate.edu/lhogben/research/Hogbenminrank07.pdf
[HvdH] L. Hogben and H. van der Holst.
Forbidden minors for the class of graphs G with
ξ(G) ≤ 2. To appear in Linear Algebra and Its Applications.
[JLD] C. R. Johnson and A. Leal Duarte.
The maximum multiplicity of an eigenvalue in a matrix whose graph is a tree.
Linear and Multilinear Algebra 46: 139144, 1999.
[JS] C. R. Johnson and C. M. Saiago.
Estimation of the maximum multiplicity of an eigenvalue in terms of the vertex degrees
of the graph of the matrix.
Electronic Journal of Linear Algebra,
9:2731, 2002.
,
Complete graph on 2 vertices 
graph6 :  A_  Order :  2  mr :  1  M :  1  field independent :  yes  ξ :  1  ω :  2  δ :  1  tw :  1  cc :  1  Diameter :  1  maxinducedpath :  1  Z :  1  α :  1  G name :  G3 
 
,
Path on 3 vertices 
graph6 :  Bg  Order :  3  mr :  2  M :  1  field independent :  yes  ξ :  1  ω :  2  δ :  1  tw :  1  cc :  2  Diameter :  2  maxinducedpath :  2  Z :  1  α :  2  G name :  G6 
 
,
Complete graph on 3 vertices 
graph6 :  Bw  Order :  3  mr :  1  M :  2  field independent :  yes  ω :  3  δ :  2  tw :  2  cc :  1  Diameter :  1  maxinducedpath :  1  Z :  2  α :  1  G name :  G7 
 
Star on 4 vertices 
graph6 :  Cs  Order :  4  mr :  2  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  2  δ :  1  tw :  1  cc :  3  Diameter :  2  maxinducedpath :  2  Z :  2  α :  3  G name :  G13  Notes :  tree

 
Path on 4 vertices 
graph6 :  Ch  Order :  4  mr :  3  M :  1  field independent :  yes  ξ :  1  ω :  2  δ :  1  tw :  1  cc :  3  Diameter :  3  maxinducedpath :  3  Z :  1  α :  2  G name :  G14 
 
paw 
graph6 :  Cj  Order :  4  mr :  2  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  3  δ :  1  cc :  2  Diameter :  2  maxinducedpath :  2  Z :  2  α :  2  G name :  G15 
 
4cycle 
graph6 :  Cl  Order :  4  mr :  2  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  2  δ :  2  tw :  2  cc :  4  Diameter :  2  maxinducedpath :  2  Z :  2  α :  2  G name :  G16  Notes :  References: [BvdHL], [BvdHL2]

 
diamond or kite 
graph6 :  Cz  Order :  4  mr :  2  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  3  δ :  2  tw :  2  cc :  2  Diameter :  2  maxinducedpath :  2  Z :  2  α :  2  G name :  G17  Notes :  linear 2tree

 
Complete graph on 4 vertices 
graph6 :  C~  Order :  4  mr :  1  M :  3  field independent :  yes  ξ :  3  ω :  4  δ :  3  tw :  3  cc :  1  Diameter :  1  maxinducedpath :  1  Z :  3  α :  1  G name :  G18 
 
Star on 5 vertices 
graph6 :  Ds_  Order :  5  mr :  2  M :  3  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  2  δ :  1  tw :  1  cc :  4  Diameter :  2  maxinducedpath :  2  Z :  3  α :  4  G name :  G29  Notes :  tree

 
Chair or Generalized star on 5 vertices 
graph6 :  DsC  Order :  5  mr :  3  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  2  δ :  1  tw :  1  cc :  4  Diameter :  3  maxinducedpath :  3  Z :  2  α :  3  G name :  G30  Notes :  tree
References:
[FH] (field independence)
[BFH3] (
)

 
Path on 5 vertices 
graph6 :  DhC  Order :  5  mr :  4  M :  1  field independent :  yes  ξ :  1  ω :  2  δ :  1  tw :  1  cc :  4  Diameter :  4  maxinducedpath :  4  Z :  1  α :  3  G name :  G31 
 
Fish 
graph6 :  DXK  Order :  5  mr :  3  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  3  δ :  1  tw :  2  cc :  3  Diameter :  2  maxinducedpath :  2  α :  3  G name :  G34  Notes :  forbidden for mr=2
References:
[FH] (field independence  cutvertex)
[BFH3] (
)

 
bull 
graph6 :  Dgs  Order :  5  mr :  3  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  3  δ :  1  cc :  3  Diameter :  3  maxinducedpath :  3  Z :  2  α :  3  G name :  G35  Notes :  References:
[FH] (field independence  cutvertex)
[BFH3] (
)

 

graph6 :  DhK  Order :  5  mr :  3  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  3  δ :  1  cc :  3  Diameter :  3  maxinducedpath :  3  Z :  2  α :  3  G name :  G36  Notes :  References:
[FH] (field independence  cutvertex)
[BFH3] (
)

 

graph6 :  DhS  Order :  5  mr :  3  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  2  δ :  1  cc :  5  Diameter :  3  maxinducedpath :  3  Z :  2  α :  3  G name :  G37  Notes :  References:
[FH] (field independence  cutvertex)
[BFH3] (
)

 
5cycle 
graph6 :  Dhc  Order :  5  mr :  3  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  2  δ :  2  tw :  2  cc :  5  Diameter :  2  maxinducedpath :  3  α :  2  G name :  G38 
 
Dart 
graph6 :  DjS  Order :  5  mr :  3  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  3  δ :  1  tw :  2  cc :  3  Diameter :  2  maxinducedpath :  2  Z :  2  α :  3  G name :  G40  Notes :  forbidden for mr=2
References:
[FH] (field independence  cutvertex)
[BFH3] (
)

 

graph6 :  Dh[  Order :  5  mr :  3  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  3  δ :  1  cc :  3  Diameter :  3  maxinducedpath :  3  Z :  2  α :  2  G name :  G41  Notes :  References:
[FH] (field independence  cutvertex)
[BFH3] (
)

 
bowtie 
graph6 :  DxK  Order :  5  mr :  2  M :  3  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  3  δ :  2  tw :  2  cc :  2  Diameter :  2  maxinducedpath :  2  Z :  3  α :  2  G name :  G42  Notes :  References:
[BFH3] (
)

 
house 
graph6 :  Dhs  Order :  5  mr :  3  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  3  δ :  2  tw :  2  cc :  4  Diameter :  2  maxinducedpath :  3  Z :  2  α :  2  G name :  G43  Notes :  "linear 2tree" (not a 2tree)
References:
[HvdH]

 
complete bipartite graph on 2,3 vertices 
graph6 :  DlS  Order :  5  mr :  2  M :  3  field independent :  yes  ξ :  3  ω :  2  δ :  2  cc :  6  Diameter :  2  maxinducedpath :  2  Z :  3  α :  2  G name :  G44  Notes :  References:
[BFH3] (
)

 

graph6 :  Dj[  Order :  5  mr :  2  M :  3  field independent :  yes  ξ :  3  δ :  1  cc :  2  Diameter :  2  maxinducedpath :  2  Z :  3  α :  2  G name :  G45  Notes :  References:
[FH] (field independence  cutvertex)
[BFH3] (
)

 

graph6 :  DnS  Order :  5  mr :  2  M :  3  field independent :  yes  ξ :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  3  Diameter :  2  maxinducedpath :  2  Z :  3  α :  3  G name :  G46  Notes :  2tree
References:
[HvdH] (
)

 

graph6 :  Dls  Order :  5  mr :  2  M :  3  field independent :  yes  ξ :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  4  Diameter :  2  maxinducedpath :  2  Z :  3  α :  2  G name :  G48  Notes :  References: [BvdHL], [BvdHL2]

 
full house 
graph6 :  Dns  Order :  5  mr :  2  M :  3  field independent :  no (see notes)  ξ :  3  ω :  4  δ :  2  tw :  3  cc :  2  Diameter :  2  maxinducedpath :  2  Z :  3  α :  2  G name :  G49  Notes :  minimum rank over
is 3.
References: [BvdHL], [BvdHL2]

 
Wheel 
graph6 :  Dl{  Order :  5  mr :  2  M :  3  field independent :  yes  ξ :  3  ω :  3  δ :  3  cc :  4  Diameter :  2  maxinducedpath :  2  Z :  3  α :  2  G name :  G50  Notes :  Reference: [BvdHL], [BvdHL2]

 

graph6 :  Dn{  Order :  5  mr :  2  M :  3  field independent :  yes  ξ :  3  ω :  4  δ :  3  tw :  3  cc :  2  Diameter :  2  maxinducedpath :  2  Z :  3  α :  2  G name :  G51  Notes :  References: [BvdHL], [BvdHL2]

 
Complete graph on 5 vertices 
graph6 :  D~{  Order :  5  mr :  1  M :  4  field independent :  yes  ξ :  4  ω :  5  δ :  4  tw :  4  cc :  1  Diameter :  1  maxinducedpath :  1  Z :  4  α :  1  G name :  G52 
 
star on 6 vertices 
graph6 :  Esa?  Order :  6  mr :  2  M :  4  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  2  δ :  1  tw :  1  cc :  5  Diameter :  2  maxinducedpath :  2  Z :  4  α :  5  G name :  G77  Notes :  tree

 

graph6 :  E?Fg  Order :  6  mr :  3  M :  3  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  2  δ :  1  tw :  1  cc :  5  Diameter :  3  maxinducedpath :  3  Z :  3  α :  4  G name :  G78  Notes :  tree
References:
[FH] (field independence)
[BFH3] (
)

 

graph6 :  E?dg  Order :  6  mr :  4  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  2  δ :  1  cc :  5  Diameter :  3  maxinducedpath :  3  Z :  3  α :  4  G name :  G79  Notes :  tree
References:
[FH] (field independence)
[BFH3] (
)

 

graph6 :  EhGG  Order :  6  mr :  4  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  2  δ :  1  tw :  1  cc :  5  Diameter :  4  maxinducedpath :  4  Z :  2  α :  3  G name :  G80  Notes :  tree
References:
[FH] (field independence)
[BFH3] (
)

 

graph6 :  EXCG  Order :  6  mr :  4  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  2  δ :  1  tw :  1  cc :  5  Diameter :  4  maxinducedpath :  4  Z :  2  α :  4  G name :  G81  Notes :  tree
References:
[FH] (field independence)
[BFH3] (
)

 
path on 6 vertices 
graph6 :  EhCG  Order :  6  mr :  5  M :  1  field independent :  yes  ξ :  1  ω :  2  δ :  1  tw :  1  cc :  5  Diameter :  5  maxinducedpath :  5  Z :  1  α :  3  G name :  G83 
 

graph6 :  EFCW  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  1  cc :  4  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G92 
 

graph6 :  EiSG  Order :  6  mr :  4  M :  2  ω :  3  δ :  1  cc :  4  Diameter :  3  Z :  2  G name :  G93 
 
corona of
with
(3sun)

graph6 :  Ex`?  Order :  6  mr :  4  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  3  δ :  1  tw :  2  cc :  4  Diameter :  3  maxinducedpath :  3  Z :  4  α :  3  G name :  G94  Notes :  References: [BFH], [FH]

 

graph6 :  EhPG  Order :  6  mr :  4  M :  2  ω :  3  δ :  1  cc :  4  Diameter :  3  Z :  2  G name :  G95 
 

graph6 :  EXCg  Order :  6  mr :  4  M :  2  ω :  2  δ :  1  cc :  6  Diameter :  3  Z :  2  G name :  G96 
 

graph6 :  EjCG  Order :  6  mr :  4  M :  2  ω :  3  δ :  1  cc :  4  Diameter :  4  Z :  2  G name :  G97 
 

graph6 :  EhSG  Order :  6  mr :  4  M :  2  ω :  2  δ :  1  cc :  6  Diameter :  3  Z :  2  G name :  G98 
 

graph6 :  EhDO  Order :  6  mr :  4  M :  2  ω :  2  δ :  1  cc :  6  Diameter :  4  Z :  2  G name :  G99 
 

graph6 :  ExCO  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  1  cc :  4  Diameter :  3  Z :  3  G name :  G100 
 

graph6 :  ExCG  Order :  6  mr :  4  M :  2  ω :  3  δ :  1  cc :  4  Diameter :  4  Z :  2  G name :  G102 
 

graph6 :  ElCG  Order :  6  mr :  4  M :  2  ω :  2  δ :  1  cc :  6  Diameter :  4  Z :  2  G name :  G103 
 

graph6 :  EhDG  Order :  6  mr :  4  M :  2  ω :  2  δ :  1  cc :  6  Diameter :  3  Z :  2  G name :  G104 
 
6cycle 
graph6 :  EhEG  Order :  6  mr :  4  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  2  δ :  2  tw :  2  cc :  6  Diameter :  3  maxinducedpath :  4  Z :  2  α :  3  G name :  G105 
 

graph6 :  EiPW  Order :  6  mr :  4  M :  2  ω :  3  δ :  1  cc :  4  Diameter :  2  Z :  2  G name :  G111 
 

graph6 :  EjSO  Order :  6  mr :  4  M :  2  ω :  3  δ :  1  cc :  4  Diameter :  3  Z :  2  G name :  G112 
 

graph6 :  Eh[G  Order :  6  mr :  4  M :  2  field independent :  yes  ω :  3  δ :  1  cc :  4  Diameter :  3  maxinducedpath :  3  Z :  2  G name :  G113 
 

graph6 :  EiSW  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  1  cc :  4  Diameter :  3  Z :  3  G name :  G114 
 

graph6 :  EjKG  Order :  6  mr :  4  M :  2  ω :  3  δ :  1  cc :  4  Diameter :  4  Z :  2  G name :  G115 
 

graph6 :  ExK_  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  1  cc :  3  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G117 
 

graph6 :  EhTG  Order :  6  mr :  4  M :  2  ω :  3  δ :  1  cc :  5  Diameter :  3  Z :  2  G name :  G118 
 

graph6 :  ExKG  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  1  cc :  3  Diameter :  3  Z :  3  G name :  G119 
 

graph6 :  EhGw  Order :  6  mr :  4  M :  2  ω :  3  δ :  1  cc :  4  Diameter :  3  Z :  2  G name :  G120 
 

graph6 :  EhTO  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  2  δ :  1  cc :  7  Diameter :  3  Z :  3  G name :  G121 
 

graph6 :  EyKG  Order :  6  mr :  4  M :  2  ω :  3  δ :  1  cc :  5  Diameter :  3  Z :  2  G name :  G122 
 

graph6 :  EhKW  Order :  6  mr :  4  M :  2  ω :  3  δ :  1  cc :  4  Diameter :  4  Z :  2  G name :  G123 
 

graph6 :  EhDg  Order :  6  mr :  4  M :  2  ω :  3  δ :  1  cc :  5  Diameter :  3  Z :  2  G name :  G124 
 

graph6 :  EhHW  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  2  δ :  1  cc :  7  Diameter :  3  Z :  3  G name :  G125 
 

graph6 :  ElCW  Order :  6  mr :  3  M :  3  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  3  δ :  2  cc :  5  Diameter :  3  maxinducedpath :  3  Z :  3  α :  3  G name :  G126  Notes :  References:
[FH] (field independence  cutvertex)
[HvdH] (
)

 

graph6 :  ExEG  Order :  6  mr :  4  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  3  δ :  2  tw :  2  cc :  5  Diameter :  3  maxinducedpath :  4  Z :  2  α :  3  G name :  G127  Notes :  "linear 2tree" (not a 2tree)
References:
[HvdH]

 

graph6 :  ElEG  Order :  6  mr :  4  M :  2  ξ :  2  ω :  2  δ :  2  cc :  7  Diameter :  3  maxinducedpath :  4  Z :  2  α :  3  G name :  G128  Notes :  "linear 2tree" (not a 2tree)
References:
[HvdH]

 

graph6 :  Ehe_  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  2  δ :  2  cc :  7  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G129 
 

graph6 :  ExCW  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  3  Diameter :  3  Z :  3  G name :  G130 
 

graph6 :  EiTW  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  4  δ :  1  cc :  3  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G133 
 

graph6 :  EgvG  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  4  δ :  1  cc :  3  Diameter :  3  Z :  3  G name :  G134 
 

graph6 :  Exi_  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  1  cc :  4  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G135 
 

graph6 :  Eh{G  Order :  6  mr :  4  M :  2  ω :  3  δ :  1  cc :  4  Diameter :  2  Z :  2  G name :  G136 
 

graph6 :  EjFO  Order :  6  mr :  4  M :  2  ω :  3  δ :  1  cc :  4  Diameter :  3  Z :  2  G name :  G137 
 

graph6 :  Eh[g  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  1  cc :  4  Diameter :  3  Z :  3  G name :  G138 
 

graph6 :  Eh{O  Order :  6  mr :  4  M :  2  ω :  3  δ :  1  cc :  4  Diameter :  3  Z :  2  G name :  G139 
 

graph6 :  EjSg  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  1  cc :  5  Diameter :  3  Z :  3  G name :  G140 
 

graph6 :  EiLW  Order :  6  mr :  3  M :  3  field independent :  yes  ω :  3  δ :  1  cc :  5  Diameter :  3  maxinducedpath :  3  Z :  3  α :  3  G name :  G141 
 

graph6 :  EhKw  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  4  δ :  1  cc :  3  Diameter :  3  Z :  3  G name :  G142 
 

graph6 :  EhSw  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  1  cc :  5  Diameter :  3  Z :  3  G name :  G143 
 

graph6 :  ExKg  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  3  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G144 
 

graph6 :  Exe_  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  5  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G145 
 
complete bipartite graph on 2,4 vertices 
graph6 :  Eli_  Order :  6  mr :  2  M :  4  field independent :  yes  ξ :  3  ω :  2  δ :  2  cc :  8  Diameter :  2  maxinducedpath :  2  Z :  4  α :  4  G name :  G146  Notes :  References:
[BFH3] (
)

 

graph6 :  EhVG  Order :  6  mr :  4  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  3  δ :  2  cc :  5  Diameter :  3  maxinducedpath :  4  Z :  2  α :  3  G name :  G147  Notes :  "linear 2tree" (not a 2tree)
References:
[HvdH]

 

graph6 :  ExeG  Order :  6  mr :  4  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  3  δ :  2  cc :  4  Diameter :  2  maxinducedpath :  4  Z :  2  α :  3  G name :  G148  Notes :  "linear 2tree" (not a 2tree)
References:
[HvdH]

 

graph6 :  EldO  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  6  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G149 
 

graph6 :  ExKW  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  3  Diameter :  3  Z :  3  G name :  G150 
 

graph6 :  Eheg  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  6  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G151 
 

graph6 :  EhNG  Order :  6  mr :  4  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  3  δ :  2  cc :  4  Diameter :  3  maxinducedpath :  3  Z :  2  α :  2  G name :  G152  Notes :  "linear 2tree" (not a 2tree)
References:
[HvdH]

 

graph6 :  Ehf_  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  5  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G153 
 

graph6 :  EhUg  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  2  δ :  2  cc :  8  Diameter :  3  Z :  3  G name :  G154 
 

graph6 :  Exy_  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  4  δ :  1  cc :  3  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G156 
 

graph6 :  Ej[g  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  4  δ :  1  cc :  3  Diameter :  3  Z :  3  G name :  G157 
 

graph6 :  Er{G  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  1  cc :  5  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G158 
 

graph6 :  Ei[w  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  1  cc :  5  Diameter :  3  Z :  3  G name :  G159 
 

graph6 :  ExFo  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  4  δ :  1  cc :  3  Diameter :  3  Z :  3  G name :  G160 
 

graph6 :  EnTO  Order :  6  mr :  2  M :  4  ω :  3  δ :  2  cc :  4  Diameter :  2  Z :  4  G name :  G161 
 

graph6 :  EndO  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  4  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G162 
 
3rd supertriangle 
graph6 :  EjFW  Order :  6  mr :  3  M :  3  ξ :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  3  Diameter :  2  maxinducedpath :  3  Z :  3  α :  3  G name :  G163  Notes :  References:
[HvdH]

 

graph6 :  ExMg  Order :  6  mr :  4  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  3  δ :  2  tw :  2  cc :  4  Diameter :  2  maxinducedpath :  4  Z :  2  α :  3  G name :  G164  Notes :  linear 2tree
References:
[HvdH]

 

graph6 :  ExKw  Order :  6  mr :  2  M :  4  ω :  4  δ :  2  cc :  2  Diameter :  2  Z :  4  G name :  G165 
 

graph6 :  EjdW  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  5  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G166 
 

graph6 :  EjuG  Order :  6  mr :  4  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  3  δ :  2  cc :  4  Diameter :  3  maxinducedpath :  3  Z :  2  α :  2  G name :  G167  Notes :  linear 2tree
References:
[HvdH]

 

graph6 :  EnUG  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  5  Diameter :  3  Z :  3  G name :  G168 
 

graph6 :  Ej]G  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  4  δ :  2  cc :  4  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G169 
 

graph6 :  Elig  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  6  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G170 
 

graph6 :  Ehew  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  5  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G171 
 

graph6 :  Eldo  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  4  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G172 
 

graph6 :  ElFg  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  6  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G173 
 
3prism 
graph6 :  Eldg  Order :  6  mr :  3  M :  3  field independent :  no (see notes)  ξ :  3  ω :  3  δ :  3  cc :  5  Diameter :  2  maxinducedpath :  3  Z :  3  α :  2  G name :  G174  Notes :  minimum rank is different for
Reference: [AIM]

 

graph6 :  ElUg  Order :  6  mr :  2  M :  4  ω :  2  δ :  3  cc :  9  Diameter :  2  Z :  4  G name :  G175 
 

graph6 :  E{G  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  4  δ :  1  cc :  3  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G177 
 

graph6 :  Ej[w  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  4  δ :  1  cc :  3  Diameter :  3  Z :  3  G name :  G178 
 

graph6 :  E~eO  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  4  δ :  2  cc :  3  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G179 
 

graph6 :  EjVW  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  4  δ :  2  cc :  3  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G180 
 

graph6 :  EhZw  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  4  δ :  2  cc :  3  Diameter :  3  Z :  3  G name :  G181 
 

graph6 :  ElG  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  5  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G182 
 

graph6 :  Eh~G  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  4  δ :  2  cc :  3  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G183 
 

graph6 :  EjfW  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  4  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G184 
 

graph6 :  ElG  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  4  δ :  2  cc :  4  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G185 
 

graph6 :  Elmg  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  6  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G186 
 

graph6 :  Ehfw  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  3  cc :  5  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G187 
 

graph6 :  El^_  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  3  cc :  5  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G188 
 

graph6 :  EUg  Order :  6  mr :  2  M :  4  ω :  3  δ :  3  cc :  6  Diameter :  2  Z :  4  G name :  G189 
 

graph6 :  Elto  Order :  6  mr :  2  M :  4  ω :  3  δ :  3  cc :  4  Diameter :  2  Z :  4  G name :  G190 
 

graph6 :  EmvW  Order :  6  mr :  2  M :  4  ω :  5  δ :  1  cc :  2  Diameter :  2  Z :  4  G name :  G191 
 

graph6 :  Ejg  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  2  cc :  3  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G192 
 

graph6 :  EnfW  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  4  δ :  2  cc :  3  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G193 
 

graph6 :  E~]G  Order :  6  mr :  2  M :  4  ω :  4  δ :  2  cc :  4  Diameter :  2  Z :  4  G name :  G194 
 

graph6 :  Ento  Order :  6  mr :  2  M :  4  ω :  4  δ :  3  cc :  2  Diameter :  2  Z :  4  G name :  G195 
 

graph6 :  Elfw  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  4  δ :  3  cc :  4  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G196 
 

graph6 :  Erfw  Order :  6  mr :  2  M :  4  ω :  3  δ :  3  cc :  6  Diameter :  2  Z :  4  G name :  G197 
 

graph6 :  Eltw  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  3  δ :  3  cc :  5  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G198 
 

graph6 :  Eluw  Order :  6  mr :  2  M :  4  ω :  4  δ :  3  cc :  4  Diameter :  2  Z :  4  G name :  G199 
 

graph6 :  E~Fw  Order :  6  mr :  2  M :  4  ω :  5  δ :  2  cc :  2  Diameter :  2  Z :  4  G name :  G200 
 

graph6 :  E~z_  Order :  6  mr :  2  M :  4  ω :  4  δ :  3  cc :  3  Diameter :  2  Z :  4  G name :  G201 
 

graph6 :  Eng  Order :  6  mr :  3  M :  3  ω :  4  δ :  3  cc :  3  Diameter :  2  Z :  3  G name :  G202 
 

graph6 :  Elzw  Order :  6  mr :  2  M :  4  ω :  4  δ :  3  cc :  4  Diameter :  2  Z :  4  G name :  G203 
 
complete tripartite graph on 2,2,2vertices 
graph6 :  Etw  Order :  6  mr :  2  M :  4  field independent :  yes  ω :  3  δ :  4  cc :  6  Diameter :  2  maxinducedpath :  2  Z :  4  α :  2  G name :  G204  Notes :  4regular,
References: [BvdHL], [BvdHL2]

 

graph6 :  E}w  Order :  6  mr :  2  M :  4  ω :  5  δ :  3  cc :  2  Diameter :  2  Z :  4  G name :  G205 
 

graph6 :  E~tw  Order :  6  mr :  2  M :  4  field independent :  yes  ω :  4  δ :  4  cc :  4  Diameter :  2  maxinducedpath :  2  Z :  4  α :  2  G name :  G206  Notes :  References: [BvdHL], [BvdHL2]

 

graph6 :  E~~o  Order :  6  mr :  2  M :  4  ω :  5  δ :  4  cc :  2  Diameter :  2  Z :  4  G name :  G207 
 
complete graph on 6 vertices 
graph6 :  E~~w  Order :  6  mr :  1  M :  5  field independent :  yes  ξ :  5  ω :  6  δ :  5  tw :  5  cc :  1  Diameter :  1  maxinducedpath :  1  Z :  5  α :  1  G name :  G208 
 
4antiprism 
graph6 :  GzK[]K  Order :  8  mr :  4  M :  4  ξ :  4  ω :  3  δ :  4  Z :  4  Notes :  Reference: [AIM]

 
Petersen graph 
graph6 :  IheA@GUAo  Order :  10  mr :  5  M :  5  ω :  2  δ :  3  cc :  15  Diameter :  2  Z :  5  Notes :  Reference: [AIM]
(the picture is misleading  unfortunately an edge lies on top of a vertex it does not intersect)

 
BarioliFallat Tree 
graph6 :  IXAGGA@?G  Order :  10  mr :  6  M :  4  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  2  δ :  1  tw :  1  cc :  9  Diameter :  4  maxinducedpath :  4  Z :  4  α :  7  Notes :  This tree allows ordered multiplicity list 1,2,4,2,1 for certain real numbers and not for others, showing that the determination of ordered multiplicity lists is not equivlanet to solving the Inverse Eigenvalue Problem of a Graph, even for trees.
Reference: [BF]

 
pentasun (corona of 5cycle with a point) 
graph6 :  IheA@?OA?  Order :  10  mr :  8  M :  2  field independent :  yes  ξ :  2  ω :  2  δ :  1  cc :  10  Diameter :  4  maxinducedpath :  5  Z :  3  α :  5  Notes :  First known example where
where
is path cover number.
References: [BFH04]

 