Un billón de triángulos

El problema, que fue planteado por primera vez hace más de mil años, tiene que ver con el área de los triángulos rectángulos. El problema, sorprendentemente difícil, consiste en determinar qué números enteros pueden ser el área de un triángulo rectángulo cuyos lados son números enteros o fracciones. El área de un triángulo así se llama un "número congruente." Por ejemplo, el triángulo de lados 3-4-5 que los estudiantes aprenden en geometría tiene área 1/2 × 3 × 4 = 6; por lo tanto 6 es un número congruente. El número congruente más pequeño es el 5, que es el área de un triángulo rectángulo con lados 3/2, 20/3, y 41/6. El triángulo de lados 3-4-5 tiene área 6. Los primeros números congruentes son 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, y 21. Muchos números congruentes eran conocidos previamente a los nuevos cálculos. Por ejemplo, cualquier número en la sucesión 5, 13, 21, 29, 37, ..., es un número congruente. Sin embargo otras sucesiones parecidas, como 3, 11, 19, 27, 35, ..., son más misteriosas y cada número tiene que ser verificado individualmente. El cálculo encontró 3,148,379,694 de estos números congruentes más misteriosos menores que un billón.

Detalles matemáticos: triángulos y curvas elípticas (inglés)

Consecuencias y planes futuros Uno de los miembros del equipo, Bill Hart, hizo notar que "la parte difícil fue desarrollar una biblioteca general rápida de código de computadora para hacer este tipo de cálculos. habiendo logrado eso, no tomó mucho tiempo escribir el programa especializado que se precisó para este cálculo." El software utilizado para este cálculo está disponible libremente, y cualquiera con una computadora grande puede usarlo para romper el récord o hacer otros cálculos similares. Además de los avances prácticos requeridos para este resultado, la respuesta también tiene consecuencias teóricas. Según el matemático Michael Rubinstein de la Universidad de Waterloo, "algunos años atrás combinamos ideas de teoría de números y de física para predecir el comportamiento estadístico de los números congruentes. Estoy muy complacido de ver que nuestra predicción es bastante precisa." Fue Rubinstein quien desafió al equipo a intentar este cálculo. El método de Rubinstein predice alrededor de 800 mil millones más de números congruentes hasta un cuadrillón, una predicción que podría ser verificada si se contara con computadoras con un disco duro suficientemente grande.

Historia del problema El problema de los números congruentes fue enunciado por primera vez por el matemático persa al-Karaji (953–1029). Su versión no involucraba triángulos, sino que estaba expresada en términos de los números cuadrados, los números que son cuadrados de enteros 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ..., o cuadrados de números racionales: 25/9, 49/100, 144/25, etc. Él preguntaba: ¿para qué números enteros n existe un cuadrado a2 tal que a2-n y a2+n también son cuadrados? Cuando esto sucede, n es llamado un número congruente. El nombre se da pues existen tres cuadrados que son congruentes módulo n. Una influencia importante en al-Karaji eran las traducciónes árabes de los trabajos del matemático griego Diofanto (210–290) quien planteó problemas similares.       Al-Fakhri fi'l-jabr wa'l-muqabala, por al-Karaji. Poco progreso fue hecho en los siguientes mil años. En 1225, Fibonacci (quien es conocido por los "números de Fibonacci") mostró que 5 y 7 eran números congruentes, y dijo, sin demostrar, que 1 no es un número congruente. Ésto fue demostrado por Fermat (quien es conocido por el "Último Teorema de Fermat") en 1659. Para 1915 los números congruentes menores que 100 habían sido determinados y en 1952 Kurt Heegner introdujo técnicas matemáticas profundas en la materia y demostró que todos los números en la sucesión 5, 13, 21, 29, ... son congruentes. Pero en 1980 todavía había casos menores que 1000 que no habían sido resueltos. Resultados modernos En 1982 Jerrold Tunnell de la Universidad de Rutgers logró un progreso significativo usando la conexión (usada primero por Heegner) entre los números congruentes y las curvas elípticas, objetos matemáticso para los que hay una teoría bien establecida. Tunnel encontró una fórmula simple para determinar si un número es congruente o no. Esto permitió que los primeros miles de casos fueran resueltos muy rápidamente. Un problema es que la validez de su fórmula (y en consecuencia también la del nuevo resultado computacional) depende de la verdad de un caso particular de uno de los grandes problemas abiertos en matemática conocidos como la Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. Esta conjetura es uno de los siete problemas del milenio propuestos por el Instituto de Matemática Clay con un premio de un millón de dólares.

Matemática básica: congruencias y "módulo" (inglés)               Más información sobre los números congruentes (inglés, pdf)

Los cálculos A veces los resultados como éste son vistos con escepticismo debido a la complejidad de llevar a cabo un cálculo tan grande y el potencial para errores en la computadora o la programación. Los investigadores tuvieron especial cuidado en verificar sus resultados, haciendo el ćalculo dos veces, en computadoras diferentes, usando algoritmos diferentes, escritos por dos grupos independientes. El equipo de Bill Hart (Universidad de Warwick, en Inglaterra) y Gonzalo Tornaría (Universidad de la República, en Uruguay) usó la computadora Selmer en la Universidad de Warwick. La compra de Selmer fue financiada por el Consejo de Investigación en Ingeniería y Ciencias Físicas (EPSRC) del Reino Unido. La mayoría de su código fue escrito durante un workshop en la Universidad de Washington en junio de 2008. El equipo de Mark Watkins (Universidad de Sydney, en Australia), David Harvey (Instituto Courant, NYU, en Nueva York) y Robert Bradshaw (Universidad de Washington, en Seattle) usó la computadora Sage en la Universidad de Washington. La compra de Sage fue financiada por la Fundación Nacional de Ciencia (NSF) de los Estados Unidos. El código de este equipo fue desarrollado durante un workshop en el Centro de Ciencias de Benasque Pedro Pascual en Benasque, España, en julio de 2009. Ambos workshops fueron patrocinados por el Instituto Americano de Matemática con financiación de la NSF.

Detalles acerca de las computadoras (inglés)           El artículo técnico (inglés) que describe los cálculos

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